Raketna enačba - Sim-Astro

Seveda bi v gravitacijsko simulacijo radi postavili raketo, ki si lahko spreminja hitrost. Prvo ponovimo raketno enačbo, ki jo lahko zelo hitro izpeljemo iz drugega Newtonovega zakona. Tu moramo upoštevati spremembo gibalne količine zaradi spremembe mase rakete in zaradi odmetavanja materiala s konstantno hitrostjo (to bomo označili z $u$ ) - ta sprememba je negativna saj odmetavamo v nasprotno smer gibanja. Silo izračunamo s primerjavo tlakov in to pomnožimo s površino motorja:

\begin{aligned} \dot{P} &= F\to M\text{d}v - u\text{d}M = (p - p_0)A\text{dt} \\ M\text{d}v &= (p - p_0)A\text{d}t + u\frac{\text{d}M}{\text{d}t}\text{d}t = \\ &= \left(\frac{(p - p_0)}{\dot M} + u\right)\dot{M}\text{d}t = -V_\text{ef}\text{d}M. \end{aligned}

Tu smo uvedli efektivno hitrost motorja zaradi lažje oznake in v zadnji enakosti upoštevali, da se masa zaradi odmetavanja zmanjšuje. Dobili smo zelo preprosto diferencialno enačbo, katere rešitev dobimo s preprosto integracijo:

\text{d}v = -V_\text{ef}\frac{\text{d}M}{M}\to v\Bigr|_1^2 = -V_\text{ef}\ln M\Bigr|_1^2\to\Delta v = V_\text{ef}\ln\frac{m_1}{m_2}.