Problem dveh teles

Začnimo kot pri predmetu Naša in druga osončja in prvo povejmo kako opišemo gibanje dveh teles kot le posledica gravitacijske sile. Telesi eno na drugo delujeta s silo, ki jo izračunamo preko Newtonovega gravitacijskega zakona:

F = G\frac{m_1m_2}{r^2},

kjer je $G = 6.674\cdot 10^{-11}\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$ gravitacijska konstanta, $m_1$ masa prvega in $m_2$ masa drugega telesa, $r$ pa njuna medsebojna razdalja. Sila je seveda privlačna in deluje v radialni smeri (kaže od središča prvega telesa proti središču drugega telesa).

Izpeljava enačbe stožnice¶

Označimo položaja teles z $\vec{r}_1$ in $\vec{r}_2$ . Gravitacijska sila, s katero prvo telo deluje na drugo, je tako:

\vec{F}_{12}=-G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}(\vec{r}_2-\vec{r}_1) = -G\frac{m_1m_2}{r^3}\vec r;\ \vec r = \vec r_2 - \vec r_1.

Po Newtonovem tretjem zakonu velja $\vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}$ . Z uporabo drugega Newtonovega zakona dobimo še:

\ddot{\vec{r}}_1=Gm_2\frac{\vec r}{r},\ \ddot{\vec{r}}_2=-Gm_1\frac{\vec r}{r}.

Z dvakratnim odvajanjem relativnega vektorja po času dobimo:

\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}_2-\ddot{\vec{r}}_1 =-G(m_1+m_2)\frac{\vec{r}}{r^3}.

Če definiramo gravitacijski parameter sistema kot $\mu=G(m_1+m_2)$ , lahko enačbo zapišemo v obliki:

\boxed{\ddot{\vec{r}}=-\frac{\mu}{r^3}\vec{r}}.

Tako smo problem dveh teles prevedli na problem relativnega gibanja enega telesa v centralnem gravitacijskem polju.

Ohranitev vrtilne količine¶

Vektorski produkt enačbe gibanja z $\vec{r}$ je:

\vec{r}\times\ddot{\vec{r}} =-\frac{\mu}{r^3}(\vec{r}\times\vec{r})=\vec{0}.

Ker velja:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}) =\dot{\vec{r}}\times\dot{\vec{r}}+\vec{r}\times\ddot{\vec{r}},

sledi:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})=\vec{0}.

Zato je vektor specifične relativne vrtilne količine:

\vec{h}=\vec{r}\times\dot{\vec{r}}

konstanten. Ker je $\vec{h}$ ves čas pravokoten na $\vec{r}$ , relativno gibanje poteka v ravnini, pravokotni na $\vec{h}$ . V tej ravnini uvedimo polarne koordinate $(r,\varphi)$ . Velikost vektorja vrtilne količine je:

h=|\vec{h}|=r^2\dot{\varphi}=\mathrm{konst.}

oziroma:

\boxed{\dot{\varphi}=\frac{h}{r^2}}.

Enačba gibanja v polarnih koordinatah¶

Relativni položaj zapišemo kot:

\vec{r}=r\hat{\vec{e}}_r,

kjer sta $\hat{\vec{e}}_r$ in $\hat{\vec{e}}_\varphi$ radialni in azimutni enotski vektor. Njuna odvoda sta:

\frac{\mathrm{d}\hat{\vec{e}}_r}{\mathrm{d}t} =\dot{\varphi}\hat{\vec{e}}_\varphi,\ \frac{\mathrm{d}\hat{\vec{e}}_\varphi}{\mathrm{d}t} =-\dot{\varphi}\hat{\vec{e}}_r.

Hitrost relativnega gibanja je zato:

\dot{\vec{r}} =\dot{r}\hat{\vec{e}}_r+r\dot{\varphi}\hat{\vec{e}}_\varphi,

pospešek pa:

\ddot{\vec{r}} =(\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2)\hat{\vec{e}}_r +(r\ddot{\varphi}+2\dot{r}\dot{\varphi})\hat{\vec{e}}_\varphi.

Gravitacijski pospešek je radialen, zato primerjava komponent da:

\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2=-\frac{\mu}{r^2},\ r\ddot{\varphi}+2\dot{r}\dot{\varphi}=0.

Druga enačba je enakovredna ohranitvi vrtilne količine, saj:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\varphi})=0.

Z uporabo $r^2\dot{\varphi}=h$ radialna enačba postane:

\ddot{r}-\frac{h^2}{r^3}=-\frac{\mu}{r^2},

oziroma:

\boxed{\ddot{r}=\frac{h^2}{r^3}-\frac{\mu}{r^2}}.

Rešitev diferencialne enačbe¶

Da bi določili obliko tirnice, želimo radialno koordinato izraziti kot funkcijo polarnega kota, torej $r=r(\varphi)$ . Uvedimo substitucijo:

u=\frac{1}{r}.

Iz ohranitve vrtilne količine sledi:

\dot{\varphi}=hu^2.

Ker je $r=1/u$ , dobimo:

\dot{r} =\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\varphi}\dot{\varphi} =-\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\varphi}\dot{\varphi} =-h\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\varphi}.

Z nadaljnjim odvajanjem po času sledi:

\ddot{r} =-h\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\varphi}\right) =-h\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}\dot{\varphi}.

Ker je $\dot{\varphi}=hu^2$ , dobimo:

\ddot{r}=-h^2u^2\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}.

To vstavimo v radialno enačbo gibanja:

-h^2u^2\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2} =h^2u^3-\mu u^2.

Po deljenju z $-h^2u^2$ dobimo diferencialno enačbo:

\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}+u=\frac{\mu}{h^2}}.

To je linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnim nehomogenim členom. Njena splošna rešitev je:

u(\varphi)=\frac{\mu}{h^2}+A\cos\varphi+B\sin\varphi,

kjer sta $A$ in $B$ integracijski konstanti, določeni z začetnimi pogoji. Z ustrezno izbiro začetnega polarnega kota lahko rešitev zapišemo kot:

u(\varphi)=\frac{\mu}{h^2}\left[1+e\cos(\varphi-\varphi_0)\right],

kjer je $e$ ekscentričnost tirnice, $\varphi_0$ pa kot, ki določa smer najbližje točke tirnice glede na izbrano začetno smer.

Ker je $u=1/r$ , končno dobimo:

\boxed{r(\varphi)=\frac{p}{1+e\cos(\varphi-\varphi_0)}},

pri čemer je:

\boxed{p=\frac{h^2}{\mu}=\frac{h^2}{G(m_1+m_2)}}.

To je enačba stožnice v polarnih koordinatah, pri čemer se gorišče nahaja v izhodišču koordinatnega sistema. Oblika tirnice je odvisna od ekscentričnosti:

$e=0$ : krožnica,
$0<e<1$ : elipsa,
$e=1$ : parabola,
$e>1$ : hiperbola.

S tem smo z uporabo Newtonovih zakonov, vektorske algebre in ohranitve vrtilne količine izpeljali enačbo tirnice problema dveh teles. Za vezan gravitacijski sistem je tirnica elipsa, krožnica pa je njen poseben primer.

Interaktivne stožnice¶

Stožnice so dolge poznane kot rezultat preseka ravnine z osno simetričnim stožcem. Izkaže se, da iz kota ravnine in notranjega kota stožca lahko izračunamo parameter stožnice $e$ . Na spodnjem grafu lahko spreminjate naklon ravnine in notranji kot stožca ter tako spreminjate ekscentričnost stožnice, ki je prikazana na desni strani (ta je prikazana tako, da je desno gorišče v središču).

from pathlib import Path
from IPython.display import HTML, display

html_path = Path("two_body_problem.html")

html_content = html_path.read_text(encoding="utf-8")
display(HTML(html_content))

Alternativni zapis stožnice¶

Enačba stožnice v polarnih koordinatah velja le v ravnini gibanja, toda v splošnem imamo za dve telesi podani njuni masi, poziciji in hitrosti, ki jih v večini primerov navedemo kot začetne pogoje. Najprej izračunamo položaj in hitrost težišča sistema:

\vec R = \frac{m_1\vec r_1 + m_2\vec r_2}{M}, \qquad \vec V = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2}{M}, \qquad M = m_1 + m_2.

Nato zapišemo relativna položaja in hitrosti teles glede na težišče:

\vec\rho_1 = \vec r_1 - \vec R = \frac{m_2}{M}(\vec r_1 - \vec r_2),

\vec\rho_2 = \vec r_2 - \vec R = \frac{m_1}{M}(\vec r_2 - \vec r_1),

\vec u_1 = \vec v_1 - \vec V = \frac{m_2}{M}(\vec v_1 - \vec v_2),

\vec u_2 = \vec v_2 - \vec V = \frac{m_1}{M}(\vec v_2 - \vec v_1).

Pri tem velja:

m_1\vec\rho_1 + m_2\vec\rho_2 = \vec 0, \qquad m_1\vec u_1 + m_2\vec u_2 = \vec 0.

Ti enačbi izražata dejstvo, da je težišče sistema v mirovanju glede na samo sebe in da se relativna položaja ter hitrosti teles glede na težišče medsebojno uravnotežijo.

Relativno gibanje¶

Za opis relativnega gibanja uvedemo relativni pozicijski in hitrostni vektor:

\vec r = \vec r_2 - \vec r_1, \qquad \vec v = \vec v_2 - \vec v_1.

Iz Newtonovega gravitacijskega zakona za obe telesi dobimo:

\ddot{\vec r}_1 = Gm_2\frac{\vec r_2-\vec r_1} {|\vec r_2-\vec r_1|^3},

\ddot{\vec r}_2 = -Gm_1\frac{\vec r_2-\vec r_1} {|\vec r_2-\vec r_1|^3}.

Z odštevanjem obeh enačb dobimo enačbo relativnega gibanja:

\ddot{\vec r} = -G(m_1+m_2)\frac{\vec r}{r^3}, \qquad r = |\vec r|.

Z uvedbo gravitacijskega parametra

\mu = G(m_1+m_2)

lahko enačbo zapišemo v obliki:

\ddot{\vec r} = -\frac{\mu}{r^3}\vec r.

To je enačba Keplerjevega problema za relativno gibanje dveh teles. Ne gre za aproksimacijo, v kateri bi eno telo obravnavali kot nepremično, temveč za točno redukcijo Newtonovega problema dveh teles na relativno gibanje.

Parametri relativne stožnice¶

Iz začetnih pogojev relativnega gibanja lahko izračunamo specifični vrtilni moment:

\vec h = \vec r \times \vec v, \qquad h = |\vec h|,

specifično orbitalno energijo:

\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r},

ekscentrični vektor:

\vec e = \frac{\vec v \times \vec h}{\mu} - \frac{\vec r}{r},

in ekscentričnost:

e = |\vec e|.

Parameter stožnice je:

p = \frac{h^2}{\mu}.

Veliko polos izračunamo iz specifične orbitalne energije:

a = -\frac{\mu}{2\varepsilon}, \qquad \varepsilon \ne 0.

Za eliptično orbito velja $\varepsilon < 0$ , za parabolično $\varepsilon = 0$ in za hiperbolično $\varepsilon > 0$ . Pri paraboli velika polos ni končna.

Enačba relativne orbite v polarnih koordinatah je:

r(\nu) = \frac{p}{1+e\cos\nu},

kjer je $\nu$ prava anomalija, torej kot med ekscentričnim vektorjem in relativnim pozicijskim vektorjem.

Za $e > 0$ jo lahko izračunamo iz:

\cos\nu = \frac{\vec e\cdot\vec r}{er},

\sin\nu = \frac{\hat{\vec h}\cdot(\vec e\times\vec r)}{er}, \qquad \hat{\vec h} = \frac{\vec h}{h}.

Zato je:

\nu = \operatorname{atan2} \left( \frac{\hat{\vec h}\cdot(\vec e\times\vec r)}{er}, \frac{\vec e\cdot\vec r}{er} \right).

Orbiti teles glede na težišče¶

Ko poznamo relativno orbito, lahko iz nje določimo gibanje posameznih teles glede na skupno težišče. Iz definicij relativnega položaja in težišča sledi:

\vec r_1 = \vec R - \frac{m_2}{M}\vec r,

\vec r_2 = \vec R + \frac{m_1}{M}\vec r.

Za hitrosti dobimo:

\vec v_1 = \vec V - \frac{m_2}{M}\vec v,

\vec v_2 = \vec V + \frac{m_1}{M}\vec v.

V koordinatnem sistemu težišča velja $\vec R = \vec 0$ in $\vec V = \vec 0$ , zato se enačbe poenostavijo.

Veliki polosi obeh orbit okoli težišča sta povezani z veliko polosjo relativne orbite:

a_1 = \frac{m_2}{M}a, \qquad a_2 = \frac{m_1}{M}a.

Ekscentričnosti obeh orbit so enake ekscentričnosti relativne orbite:

e_1 = e_2 = e.

Razmerje velikih polosi je:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{m_2}{m_1}.

Telesi torej krožita okoli skupnega težišča po geometrijsko podobnih stožnicah, ki sta na nasprotnih straneh težišča. Njuni velikosti sta določeni z razmerjem mas, zato nobenega telesa ni treba obravnavati kot nepremičnega ali zanemariti njegove mase.

Energija in vrtilni moment sistema¶

Za opis celotnega sistema uvedemo reducirano maso:

\mu_{\mathrm r} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}.

Celotna kinetična energija sistema je vsota kinetične energije gibanja težišča in kinetične energije relativnega gibanja:

T = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}\mu_{\mathrm r}v^2.

Gravitacijska potencialna energija je:

U = -\frac{Gm_1m_2}{r}.

Celotna mehanska energija sistema je zato:

E = \frac{1}{2}MV^2 + \mu_{\mathrm r}\left( \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r} \right).

Z uporabo specifične orbitalne energije lahko zapišemo:

E = \frac{1}{2}MV^2 + \mu_{\mathrm r}\varepsilon.

V koordinatnem sistemu težišča, kjer je $V = 0$ , dobimo:

E = \mu_{\mathrm r}\varepsilon.

Celotni vrtilni moment sistema glede na težišče je:

\vec L = \mu_{\mathrm r}(\vec r\times\vec v) = \mu_{\mathrm r}\vec h.

Tako lahko iz začetnih položajev, hitrosti in mas obeh teles določimo parametre relativne stožnice ter nato rekonstruiramo orbiti posameznih teles okoli skupnega težišča.